Exercices corrigés -Extrema des fonctions de plusieurs variables (2024)

On pose $f(x,y)=x^2+y^2+xy+1$ et $g(x,y)=x^2+y^2+4xy-2$.

1. Déterminer les points critiques de $f$, de $g$.
2. En reconnaissant le début du développement d'un carré, étudier les extrema locaux de $f$.
3. En étudiant les valeurs de $g$ sur deux droites vectorielles bien choisies, étudier les extrema locaux de $g$.

Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes :

1. $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$
2. $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 1$
3. $f(x,y) = x^3 + y^3 $
4. $f(x,y) = (x - y)^2 + (x + y)^3 $

Soit $A,B,C$ trois points non alignés d'un espace euclidien. On pose, pour tout point $M$, $f(M)=AM+BM+CM$.

1. Étudier la différentiabilité de $g(M)=AM$ et calculer sa différentielle.
2. Démontrer que $f$ atteint son minimum en au moins un point, et que tout point où $f$ atteint son minimum est situé dans le plan affine $(ABC)$.
3. Démontrer que $f$ est strictement convexe, et en déduire que $f$ atteint un unique minimum.
4. Soit $F$ le point où $f$ atteint son minimum. On suppose que $F$ est distinct de $A,B$ et $C$. Démontrer que $$\frac{1}{AF}\overrightarrow{AF}+\frac 1{BF}\overrightarrow{BF}+\frac 1{CF}\overrightarrow{CF}=\vec 0.$$

Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes :

1. $f(x,y)=y^2-x^2+\frac{x^4}2$;
2. $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$;
3. $f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2$.

Déterminer les extrema locaux et globaux des fonctions suivantes :

1. $f(x,y)=2x^3+6xy-3y^2+2$;
2. $f(x,y)=y\big(x^2+(\ln y)^2\big)$ sur $\mathbb R\times ]0,+\infty[$;
3. $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$;

Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes. Est-ce que ce sont des extrema globaux?

1. $f(x,y)=x^2+y^3$;
2. $f(x,y)=x^4+y^3-3y-2$;
3. $f(x,y)=x^3+xy^2-x^2y-y^3$.

Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.

1. Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
2. Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
3. Déterminer les points critiques de $f$.
4. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
5. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.

Pour chacun des exemples suivants, démontrer que $f$ admet un maximum sur $K$, et déterminer ce maximum.

1. $f(x,y)=xy(1-x-y)$ et $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x,y\geq 0,\ x+y\leq 1\};$
2. $f(x,y)=x-y+x^3+y^3$ et $K=[0,1]\times [0,1]$;
3. $f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$ et $K=[0,\pi/2]^2$.

On considère un polygone convexe à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité du plan euclidien. On note $P$ son périmètre, et $e^{ia_1}$, $e^{ia_2},\dots,e^{ia_n}$ les affixes de ses sommets, avec $0\leq a_1<a_2<\dots<a_n<2\pi$.

1. On pose, pour $k\in\{1,\dots,n-1\}$, $t_k=\frac 12\left(a_{k+1}-a_k\right)$ et $t_n=\frac12\left(a_1+2\pi-a_n\right)$. Montrer que $P=2\sum_{k=1}^n \sin(t_k)$.
2. Montrer que $P$ est maximal lorsque le polygone est régulier.

Soit $n\geq 2$ et $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_1\cdots x_n$. On note$\Gamma=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n;\ x_1+\dots+x_n=1\}$.

1. Démontrer que $f$ admet un maximum global sur $\Gamma$et le déterminer.
2. En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n$, on a $$\prod_{i=1}^n x_i^{1/n}\leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}n.$$

Soit $n\geq 1$, $E=\mathbb R^n$ muni de sa structure euclidienne canonique, $u$ un vecteur fixé de $E$, $A$ une matrice symétrique réelleet $\phi$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $A$ dans la base canonique. On suppose de plus que $\langle x,\phi (x)\rangle>0$ pour tout $x\in E$ non nulet on pose$$f(x)=\langle x,\phi(x)\rangle-2\langle x,u\rangle.$$

1. Démontrer que les valeurs propres de $\phi$ sont strictement positives.
2. Soit $(V_1,\dots,V_n)$ une base orthonormale de vecteurs propres de $\phi$, associés aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Exprimer $f(x)$ en fonction des coordonnées $(x_1,\dots,x_n)$ de $x$ dans $(V_1,\dots,V_n)$. En déduire que $f$ admet un unique point critique en un certain $y\in E$ que l'on déterminera.
3. Quelle est la nature de $y$?

Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^2$. On notera $\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$. On fixe $D$ un disque ouvert de $\mathbb R^2$ et on suppose que $\Delta f\geq 0$. Le but est de démontrer qu'il existe $m_0\in\partial D$ tel que$$\sup_{m\in \overline{D}} f(m)\leq f(m_0).$$ Pour $p\in\mathbb N^*$, on pose$$g_p(m)=f(m)+\frac{\|m\|^2}p.$$

1. Démontrer qu'il existe un point $m_p\in\overline D$ tel que $$\sup_{m\in \overline D}g(m)=g(m_p).$$
2. On suppose que $m_p\in D$. Démontrer que $\frac{\partial^2 g_p}{\partial x^2}(m_p)\leq 0$ et $\frac{\partial^2 g_p}{\partial y^2}(m_p)\leq 0$.
3. En déduire que $m_p\in\partial D$.
4. Démontrer que $$\sup_{m\in\overline D}f(m)\leq \sup_{m'\in\partial D}f(m').$$
5. Conclure.

Étant donné un nuage de points $(x_i,y_i)_{i=1}^n$, la droite des moindres carrés (ou droite de régressionlinéaire) est la droite d'équation $y=mx+p$ qui minimise la quantité$$F(m,p)=\sum_{k=1}^n (y_k-mx_k-p)^2.$$

1. Démontrer que si $(m,p)$ est un couple où ce minimum est atteint, alors $(m,p)$ est solution du système$$\left\{\begin{array}{rcl}\sum_{k=1}^n (y_k-mx-p)&=&0\\\sum_{k=1}^n x_k(y_k-mx_k-p)&=&0.\end{array}\right.$$
2. On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ et $(y_i)_{i=1,\dots,n}$.Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec$$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}.$$
3. On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition$\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$.
   1. Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m,p)\|\to+\infty}F(m,p)=+\infty$?
   2. Démontrer que$$F(m,p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m,p)+v(m,p)+c,$$où $u_1,\dots,u_n,v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$.
   3. Démontrer que le rang de $(u_1,\dots,u_n)$ est 2.
   4. On suppose que $(u_1,u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m,p)=u_1^2(m,p)+au_1(m,p)+u_2^2(m,p)+bu_2(m,p)+c+R(m,p),$$où $a,b,c\in\mathbb R$ et $R(m,p)\geq 0$.
   5. Justifier que $\|(m,p)\|\to+\infty\implies |u_1(m,p)|+|u_2(m,p)|\to+\infty$.
   6. Conclure.
4. Application numérique : Une réaction lente conduit à une concentration $y$ de produit, donnée en fonction dutemps par la relation théorique $$y=0,01-\frac{1}{\alpha t+\beta}.$$L'expérience conduit au tableau de valeurs suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hlinet\quad (sec)&0&180&360&480&600&900&1200\\\hliney\quad (10^{-3} mole/l)&0&2,6&4,11&4,81&5,36&6,37&6,99\\\hline\end{array}.$$Déterminer par la méthode des moindres carrés des valeurs possibles pour $\alpha$ et $\beta$.

Soit $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mtr^2$, et $a\in\mtr^2$. On dit qu'une fonction $f$ présente en $a$

• un maximum local s'il existe un réel $r>0$ tel que$$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\leq f(a).$$
• un minimum local s'il existe un réel $r>0$ tel que :$$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\geq f(a).$$
• un extrémum local si elle présente en $a$ un maximum local ou un minimum local.

On suppose dans la suite que $f$ est une fonction de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mtr^2$, et soit $a\in U$.

1. Montrer que si $f$ présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de $f$ en $a$ sont nulles. Un tel point (où les dérivées partielless'annulent) est appelé point critique de $f$.
2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$. Montrer que $f$ admet $(1,2)$ pour seul point critique.En effectuant le changement d'origine $x=1+X$ et $y=2+Y$ et en calculant $f(1+X,2+Y)$, prouver que $f$ admet un minimum local en $(1,2)$.
3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^3+y^3-6(x^2-y^2).$
   1. Montrer que $f$ possède 4 points critiques.
   2. En calculant $f(t,0)$ et $f(0,t)$, prouver que $f$ n'admet pas d'extrémum en $(0,0)$, bien que ce point soit un point critique.
   3. Ecrire la formule de Taylor à l'ordre 2 en $(4,0)$. En déduire que $f$ admet un minimum local en $(4,0)$.
   4. En s'aidant des questions précédentes, faire l'étude locale aux autres points critiques.